Tablas de verdad: certeza y validez de proposiciones
Las proposiciones atómicas y moleculares tienen un valor de
verdad: o son ciertas (verdaderas) o son falsas. Desde luego que el valor de
verdad de una proposición atómica se juzga con relativa facilidad. Si lo que
ésta enuncia, corresponde con la
realidad, entonces será cierta; si no, será falsa. En otras palabras, la
proposición "el gato está en el microondas" es cierta en el caso de
que el gato esté en el microondas. Sin embargo, cuando se está frente a una
proposición molecular, la cosa no es tan sencilla. Varía según se trate de una
conjunción, una disyunción, etc. Vaya, su valor de verdad se deduce a
partir de los valores de verdad de las
proposiciones atómicas y de los conectivos que la integran. Ahora bien, un
valor de verdad se representa de la siguiente manera: cuando la proposición es
verdadera, esto se indica con una letra “C”, “V” o un “1” (número uno), al lado de
dicho enunciado; cuando la proposición es falsa se pone una “F” o bien un
número “0” .
Por ejemplo:
Televisa
produce telenovelas (V).
Las
tortillas están hechas de carne de pollo (F).
La conjunción
Para que
una proposición de este tipo sea cierta, todos sus miembros deben serlo. ¿Por
qué? Porque el conectivo "y" implica que ambas cosas suceden: "Nelson Vargas tiene calor y se echa a la alberca". Para que esto
sea cierto deben ser verdaderos los hechos que se reflejan en mi enunciado. Si
Nelson Vargas se echara a la alberca, pero no tuviera calor, la proposición
sería falsa. Lo mismo pasaría, si tuviera calor y para sofocarlo se tomara un
refresco en vez de echarse a la alberca. Peor aún, si tuviera frío y se pusiera
un abrigo, mi proposición no reflejaría
la realidad.
La situación anterior se puede representar mediante una tabla
que representará los valores de verdad de "Nelson Vargas tiene calor y se
echa a la alberca", donde "C" corresponde a "cierto" y
"F" a "falso":
N
|
A
|
N & A
|
C
|
C
|
C
|
C
|
F
|
F
|
F
|
C
|
F
|
F
|
F
|
F
|
En consecuencia podemos enunciar la siguiente regla:
Disyunción
La disyunción es una estructura lógica que une
dos proposiciones mediante el conectivo “o”. Hay tres tipos de disyunción: la
implicativa, la exclusiva y la
incompatible. ¿En qué se diferencian? El
“o” indica posibilidades, o sucede una o cosa o la otra, pero a veces resulta
que ambas posibilidades pueden coexistir; en otras ocasiones, solamente sucede
una y la otra no, o bien en algún caso ninguna de las dos sucede. Cuando ambas
pueden suceder mutuamente, la disyunción es inclusiva; cuando no y sólo ocurre
una, es exclusiva; y cuando ninguna es posible, es incompatible. Recurramos a un ejemplo: si alguien se
encuentra con dos muchachas muy
semejantes físicamente, podría pensar: “O son hermanas o se parecen”. Resulta
que ambas efectivamente son hermanas y además se parecen (no olvidemos que hay
hermanos que no se parecen mucho). La disyunción es en este caso inclusiva. Ahora bien, si estas dos hermanas
están viendo la televisión y de repente se apaga, ellas pueden decir: “o se
descompuso o se fue la luz”. Una de ellas se dirige al apagador y enciende la
luz. Luego concluyen que la televisión tuvo un desperfecto. En este caso, si la
televisión se hubiera descompuesto, entonces la disyunción sería exclusiva porque
sólo sucede una cosa de las dos; pero en
el caso de que la causa de que la
televisión se hubiera apagado, debido al apagador de tiempo, entonces la
disyunción sería incompatible, ya que ninguna de las dos opciones fue verdad.
Cuando se está ante una disyunción inclusiva, el valor de
verdad de ésta se determina, se considera como cierto si las dos o alguna de
las proposiciones es cierta.[2]
El caso contrario es si resultan falsas, ¿Por qué? Porque el conectivo
"o" es flexible, da cabida a la duda, por decirlo así. Imaginemos que
Juanito en su primera cita con Clodomira
llega recogerla a su casa en un Lincoln Town Car. Ella, al percatarse de quien
va en el carro, enuncia la siguiente
proposición:
O el carro es suyo o lo consiguió provisionalmente.
Si es suyo, entonces la proposición es verdadera; y si lo
consiguió rentándolo, también. En caso de que ambas proposiciones fueran
verdaderas, desde luego que seguiría siendo cierto; no así sucedería, si él llegara
sin auto y ella pensara que trae un carro y elucubrara si es suyo o prestado
(lo cual por cierto sería absurdo para meditar).
En otras palabras, la
disyunción inclusiva de dos proposiciones
es cierta si y sólo si por lo menos una de las dos proposiciones es cierta.
Esto en una tabla se expresa así:
A
|
B
|
A v B
|
C
|
C
|
C
|
C
|
F
|
C
|
F
|
C
|
C
|
F
|
F
|
F
|
La disyunción exclusiva, en cambio, funciona de otra manera en lo referente a su tabla de verdad. Ya que es falsa cuando ambas proposiciones son verdaderas o falsas. ¿Por qué? En el caso de que ambas opciones fueran verdaderas, y consideráramos verdadera también su disyunción, entonces ésta se volvería inclusiva y por lo tanto sería inexistente (o bien falsa) la disyunción exclusiva. Y cuando los dos enunciados son falsos, también su disyunción es falsa, pues ninguna de las dos proposiciones se cumple.
Nuestra disyunción exclusiva sería falsa, porque no
hubo ninguna exclusión de posibilidades, como en el caso de las niñas de la
televisión. Por lo tanto, tenemos el siguiente cuadro:
A
|
B
|
A V B
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
Una
disyunción exclusiva se puede representar con una W o bien con una “V” que
tiene un guión debajo de ella.
Negación
Cuando se
tiene una proposición negativa su verdad
se conoce en función de la verdad de su respectiva afirmativa. Si es verdad que el lápiz es amarillo,
entonces su negación será falsa; pero si es falso que el lápiz sea amarillo, entonces
su negación será verdadera. La regla dice:
La negación de una proposición
cierta es falsa y la negación de una proposición falsa es cierta.
Su
respectiva tabla diría:
D
|
¬ D
|
C
|
F
|
F
|
C
|
Proposiciones condicionales
En el lenguaje cotidiano, nosotros entendemos una proposición
condicional como algo que refleja una relación causa-efecto entre las cosas. La
primera proposición de la condicional (el antecedente o hipótesis) provoca que
suceda la segunda (el consecuente o tesis): “Si piso un alacrán, entonces me
picará”. En otras palabras, el que yo pise un alacrán es causa de que él me
pique. Pero, en la lógica proposicional, la condicional no necesariamente
implica una relación causa-efecto entre los hechos de la realidad, sino una
relación donde se establece en la mente una condición para llegar a un fin y,
donde el cumplimiento mismo del fin, es lo que le da veracidad a la condicional
independientemente de la causa real. Ahora bien, no es que la condicional
quiera ir en contra de la realidad, sino que nosotros difícilmente podemos conocer,
aprehender las causas de las cosas y la lógica considera las posibilidades que,
cuando se cumple el efecto, pero no se cumple la causa, no descarta que en caso
de que se cumpliera esa causa, la relación causal fuera verdadera. Tanto le preocupa la realidad a la lógica,
que parece que acepta como verdaderas, proposiciones que difícilmente
aceptaríamos a través del sentido común. Por esta razón, podemos decir que las
proposiciones condicionales son las más quisquillosas de todas en relación con
la verdad. Pareciera que para que fueran ciertas, tanto el antecedente, como el
consecuente debieran ser verdaderos. No obstante, como ya indicamos, solamente
son falsas cuando el antecedente es cierto y el consecuente es falso. ¿Por qué?
Porque si el antecedente es falso, no hay modo de juzgar en realidad la certeza
de su consecuente, por un lado, y, por
el otro, es el cumplimiento del consecuente lo que determina la verdad de la
proposición. ¿Por qué? Porque si la proposición no puede ser calificada como
falsa desde el antecendente, y tiene un
valor de verdad, entonces debe ser verdadera. Tomemos la proposición:
Si el cielo está limpio, entonces
el Popocateptl es visible
En algún día de tantos del Distrito Federal, tanto
consecuente como antecedente son ciertos.
Más aún, nosotros sabemos que si el Cielo está limpio, el Popo es
visible. ¿Qué pasa si el antecedente es falso? Imaginemos que el cielo está
contaminado y aseveramos que está limpio. Podríamos decir que la proposición
condicional es falsa, pero resulta que efectivamente cuando el cielo está
limpio, entonces el Popocateptl es visible. Por lo tanto, no podemos juzgar el
valor de verdad del consecuente de esa proposición porque la falsedad del
antecedente nos impide conocer la verdad de una relación que, posiblemente, sea
cierta si se da. Para nosotros suena absurdo, pero no lo es para una persona
que jamás ha constatado la verdad de que "el cielo está limpio".
En cambio, si en un
día despejado hubiéramos dicho: "Si
el cielo está limpio, entonces el Popocatepetl es invisible", notaríamos
que la verdad de esta proposición condicional es insostenible a pesar de la
veracidad del antecedente. Y es falsa porque vemos que es falso el consecuente
y no responde a esa relación supuesta.
Ahora bien, en el caso de que tanto el antecedente, como el
consecuente sean falsos, la proposición se sigue manteniendo como cierta por la
misma prudencia metodológica que hace rato tuvimos al ignorar la certeza del
antecedente.
La regla lo resume de la siguiente manera:
Una proposición condicional es
falsa si el antecedente es cierto y el consecuente es falso; en todo otro caso
la proposición condicional es cierta.
Lo anterior, dicho de una manera más formal, equivale a lo
siguiente: la relación E à F es verdadera siempre y cuando ¬ (E & ¬ F) sea
verdadera.
Y en una tabla, lo anterior se expresaría así:[3]
E
|
F
|
E à F
|
C
|
C
|
C
|
C
|
F
|
F
|
F
|
C
|
C
|
F
|
F
|
C
|
Profundizando un poco más dentro del
ámbito de las proposiciones condicionales, observaremos que podemos invertir de
lugar al antecedente y al consecuente. Cuando esto pasa, tenemos una recíproca:
A à B
cambia a Bà A y
ésta última es la recíproca de la primera.
Si (economizo mi presupuesto), entonces (viajo en Metro).
Pero la cosa no acaba ahí. Cabe la
posibilidad de hacer una proposición contra-recíproca de la original
cuando se niega cada elemento de la recíproca:
Aà B se puede convertir en ¬B à¬A
Si (viajo en Metro) entonces (economizo mi
presupuesto).
y pasa a:
Si (no economizo mi presupuesto)
entonces (no viajo en Metro).
Y
también se puede negar la proposición original, en vez de la recíproca.
Consecuentemente tendremos su inversa:
A à B deriva en ¬A à ¬B
Si (viajo en Metro), entonces (economizo mi
presupuesto).
y pasa a:
Si (no viajo en Metro), entonces (no economizo
mi presupuesto).
Proposiciones bicondicionales
En las
proposiciones condicionales, se establece que el antecedente es condición
suficiente o bien necesaria para que ocurra el consecuente. En otras palabras,
basta con que suceda una causa “X”, que bien pudo ser una causa “y” (condición
suficiente), o bien que solamente por la causa Z pudo haberse desencadenado el
efecto (condición necesaria). En el caso de una proposición bicondicional, el antecedente es causa necesaria del
consecuente y lo mismo para el caso de
su recíproca. En cristiano, esto significa que las proposiciones
bicondicionales tienen el valor de dos condicionales que se determinan
mutuamente. Algo ocurre, si y sólo si sucede lo otro y viceversa:
"Un perro es fino, si y sólo si es de
raza". A ßà B
Esto equivale a:
Si (un
perro es fino), entonces (es de raza).
A à B
Si (un
perro es de raza), entonces (es fino).
B à A
Tan estrecha es la relación que tenemos:
(AàB) & (B à A)
(Si un
perro es fino, entonces es de raza) y (si un perro es de raza, entonces es fino).
Lo anterior con brevedad se puede expresar así:
Un perro es fino si y sólo si es de raza.
En consecuencia, para que sea cierta una proposición
bicondicional, tienen que ser verdaderos los dos miembros que la constituyen.
Si uno es falso, entonces la proposición es falsa:
"Un
perro es corriente si y sólo si es de raza"
O:
"Un
perro es fino, si y sólo si está registrado con pedigree".
Por último, si los dos elementos son falsos, la proposición
será cierta. ¿Por qué? Recordemos que una bicondicional descansa en dos
condicionales que mutuamente se afectan, y ya habíamos dicho que la falsedad
del antecedente impide determinar la falsedad del consecuente. En consecuencia,
metodológicamente se ha catalogado como
verdadera a una bicondicional falsa.
Así pues “Un perro es ovíparo, si y sólo si el perro pone
huevos”, es una proposición verdadera, ya que, aunque esto no se da en la
realidad, lógicamente es perfecto porque no rechaza una posibilidad
que no se ha confirmado. Y si viéramos a un perro poner huevos, sería verdadera
la proposición. ¡Aunque Usted no lo crea!
En conclusión:
Una proposición bicondicional es
cierta si y sólo si sus dos miembros son ambos ciertos o ambos falsos.
En una tabla tales relaciones se
plasman del siguiente modo:
Q
|
R
|
Q ßà R
|
C
|
C
|
C
|
C
|
F
|
F
|
F
|
C
|
F
|
F
|
F
|
C
|
Tablas de verdad
Las tablas de
verdad son un método para
representar de manera abreviada todos los posibles valores de verdad de una
proposición. Obviamente que su utilidad está
al aplicarse a las proposiciones moleculares y mostrarnos si son contingentes,
tautológicas o contradictorias. Ya en su momento veremos qué son cada una de
ellas.
Por el momento, hay que explicar la
mecánica de una tabla de verdad. La
tabla de verdad expresa todos los valores de verdad imaginables de una
proposición. Así, pues, si nuestra proposición es atómica, sólo podrá tener dos
valores: verdadero o falso, pero si es molecular, se deberán representar cada
una de sus proposiciones atómica con sus respectivos valores de verdad.
Obviamente que cada proposición atómica sólo puede ser verdadera o falsa, pero
la relación entre dos proposiciones atómicas dentro de una molecular se complica, ya que ambas proposiciones
pueden ser simultáneamente verdaderas o falsas, o bien una verdadera y la otra
falsa; surgen pues cuatro posibilidades de verdad en una proposición molecular
compuesta de dos variables:
P
& Q
P
|
Q
|
P & Q
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
|
F
|
V
|
|
F
|
F
|
Si la proposición molecular tiene 3
variables, entonces las diversas combinaciones de los valores de verdad se
multiplican y se tienen 8 y no ya cuatro posibilidades:
A & B à C
A
|
B
|
C
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
V
|
F
|
|
V
|
F
|
V
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
V
|
|
F
|
V
|
F
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
Puede
haber una gran cantidad de variables dentro de una tabla de verdad. Por eso hay
una fórmula para mostrar la cantidad de posibles combinaciones de su valor bajo
la fórmula:
2ª
“ª” es el número de proposiciones simples o variables
que constituyen la proposición a
esquematizar y 2 es el número de posibilidades de verdad de cada una. Si tenemos 4 variables tendremos 16
combinaciones según esta fórmula.
En fin, también en una tabla de
verdad se representan las constantes, es decir, las funciones lógicas (y, o,
no, si...entonces, etc) que realizan las variables. En la ya mencionada
proposición A & B à
C, además de representarse A, B y C, también se representan & (en su
relación A & B) y à (en la relación (A & B) à (C) ).
A
|
B
|
C
|
(A & B)
|
à
|
C
|
V
|
V
|
V
|
|||
V
|
V
|
F
|
|||
V
|
F
|
V
|
|||
F
|
V
|
V
|
|||
F
|
F
|
V
|
|||
F
|
V
|
F
|
|||
V
|
F
|
F
|
|||
F
|
F
|
F
|
Ejercicio
El cuadro anterior está
incompleto, llénalo haciendo uso de las reglas ya vistas para realizar tablas
de verdad.
Proposiciones contingentes
Son aquellas que los resultados de su tabla de verdad
son en algunos casos verdaderos y en otros falsos. Las tablas de verdad que
hicimos anteriormente expresaron proposiciones de este tipo.
Tautologías
Una
tautología eyimológicamente es la repetición de un mismo pensamiento:
"tauto", lo mismo; "logos", palabra. El enunciado
"Ordeno y mando" sería ejemplo claro de lo que es. En lógica formal,
una tautología es una proposición molecular
que siempre resulta cierta al combinar todos los posibles valores de
verdad que poseen las proposiciones atómicas que la constituyen. Ej[4].
¬ (R &
S) à ¬R V ¬S
(Veámoslo
en una tabla de verdad, donde para evitar confusiones, se pondrán primero
alinearemos todas las proposiciones atómicas que constituyen a esa molecular y
a la derecha pondremos las proposición tal cual aparece; luego, bajo cada uno
de sus símbolos pondremos el valor de verdad que corresponde a su función
lógica. Por cierto, que también se puede usar una V de verdadero en vez de C
para expresar que una proposición es cierta).
R
|
S
|
¬
|
(R & S)
|
à
|
¬R
|
V
|
¬s
|
V
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
Cuando una
proposición condicional es tautológica, cabe mencionar que el consecuente está
implicado en el antecedente. En otras
palabras, hay una implicación lógica.
Ahora bien a toda
proposición bicondicional, cuyo valor sea tautológico, podemos decir que hay una equivalencia
lógica entre sus respectivos miembros.
Son equivalentes porque quieren decir lo mismo. Dicho de otra manera, si hay dos proposiciones con las
mismas variables (no necesariamente en el mismo orden, ni con los mismos
conectivos), pero que tienen los mismos valores en su tabla de verdad, entonces
son equivalentes.
Contradicción
Una contradicción es aquella proposición que al representarse
todas sus posibles combinaciones de valores de verdad en una tabla, el
resultado siempre es falso. Ejemplo:[5]
¬[ (P à Q) & ¬Q à ¬P]
P
|
Q
|
¬
|
[(P à Q)
|
&
|
¬Q
|
à
|
¬P]
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
V
|
[1] Cfr. Patrick Suppes y Shirley Hill,
Introducción a la lógica matemátca,
Reverté, México, 1994. p, 114.
[2] No importa el número de miembros que tenga la disyunción. Así sean 14
y sólo uno es verdadero, la disyunción toda, es verdadera.
[3] La tabla de su equivalente
lógico sería la siguiente y explica a la condicional:
E
|
F
|
¬
|
(E
|
&
|
¬F)
|
C
|
C
|
C
|
C
|
F
|
F
|
C
|
F
|
F
|
C
|
C
|
C
|
F
|
C
|
C
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
C
|
F
|
F
|
C
|
[4] Misael Mateos, Lógica
para inexpertos, Edere, México,
1998, p. 196.
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