Proposiciones atómicas y proposiciones moleculares

Proposiciones atómicas y proposiciones moleculares

Una proposición es un enunciado en indicativo; o sea, una aseveración afirmativa o negativa que puede ser calificada como verdadera o falsa. Los enunciados  que tienen otra modalidad, no son considerados proposiciones. Es decir, los enunciados imperativos (¡Tráeme el periódico!), exclamativos (¡Qué bonito!) e interrogativos (¿A qué hora vas por el pan?) quedan fuera de este ámbito, ya que su veracidad es difícil de juzgar.[1] En otras palabras, no todo enunciado es una proposición lógica, mucho menos toda oración, ya que las oraciones no verbales o frases (como “Muy divertida la película”)  no son consideradas en la Lógica proposiciones, dado a que les falta un verbo. Para que fungieran como tales, tendrían que formalizarse, es decir, adaptarse al modelo de la oración verbal. Una oración es una unidad mínima de predicación, pero en la lógica sólo se considera una proposición a aquella que responde a la estructura sujeto-verbo-predicado. Esa proposición antes que ser una cadena de sonidos concreta o una estructura vacía absolutamente, es una representación abstracta de un pensamiento, es decir, dos expresiones distintas de un mismo significado, constituyen una proposición. Por ejemplo: “Me duele la cabeza” y “Tengo cefalea” o “I have a headache” responden a la misma proposición y no se identificarían con “Mis pies están fríos”.

Ahora bien, una proposición se puede representar tanto con una oración gramatical, como con una expresión matemática (siempre y cuando ésta afirme o niegue algo). Entonces proposiciones son:

1) Mi perro está chaparro (oración gramatical).

2)        2 +3= 5 (expresión matemática)

En el segundo caso, es una proposición, ya que dicha expresión matemática equivale a la aseveración “dos más tres es igual a cinco”. 

La lógica simbólica distingue dos tipos de proposiciones: las atómicas (simples o elementales) y las moleculares (compuestas). Las primeras, no se pueden dividir en otras proposiciones; mientras que las segundas, sí, y se conectan entre ellas  gracias a términos de enlace llamados conectivos lógicos, los cuales son: "no", "y", "o", "si"...entonces", “luego”, “pero”, “porque”, “aunque”, etcétera.

Ejemplos de proposiciones atómicas son:

El perro es mordido por el gato.

Thalía y Tony Motola son esposos. [2]

Sócrates es mortal.

El frío es intenso.

Creo que es lunes.[3]

Deberías ser más prudente.

 Ejemplos de proposiciones moleculares son:

Nestle es un emporio y Alpura es una compañía menor.

El  PRI no es una institución de caridad. [4]

O estás mal o estás bien.

Si  el Tecolote canta, entonces el indio ha muerto.

Ayer fui a la tienda que visitamos el otro día en aquella plaza comercial tan lujosa localizada en la zona de Santa Fe.

 27 > 3

Brenda es interesante, pero Ivonne es más interesante.

Esperé una hora, luego me fui a mi casa.

Las proposiciones se simbolizan cuando la intención del sujeto es generar un discurso que carezca de las ambigüedades del lenguaje ordinario. Cuando un enunciado se simboliza se hace una paráfrasis de éste con un lenguaje artificial apropiado para tales objetivos. Un lenguaje formal consta de dos componentes: un grupo de símbolos básicos y conjunto de reglas de formación que sirven para relacionar esos símbolos y poder establecer secuencias que han de contar como fórmulas. Queda claro, que en Aritmética los números son símbolos y la suma, la resta, la división y la multiplicación serían sus reglas, que permitirían establecer fórmulas. Así pues, 4+ 3 = 7, va a corde con la secuencia que permite la simbolización. En cambio,  “=+3  - 1” no sería una fórmula adecuada en ese lenguaje formal.

Los lenguajes formales, según Agustín Rayo, presentan las siguientes características: 1)evitan las ambigüedades sintácticas, 2) sus fórmulas tienen una estructura sintáctica que es fácil de entender, 3) sus fórmulas son breves, 4) están asociados con interpretaciones que evitan ambigüedades semánticas y delimitan claranmente los recursos expresivos del lenguaje, 5) Está asociados con teorías de modelos que delimitan las consecuencias lógicas de sus fórmulas, 6) están asociados con cireterios que nos permiten demilitar los compromisos ontológicos de sus fórmulas, 7) están asociados a sistemas deductivos y teorías de modelos con propiedades interesantes.

Simbolización de proposiciones

Una proposición se  simboliza con una variable, es decir una letra que la simbolice.  La proposición  atómica "Mi recámara es cómoda" simplemente se puede representar con la letra "z". Y la proposición molecular “Mi recámara es cómoda y tu recámara es más amplia” se puede representar así: “z y p”. Entonces, cuando nos hallamos frente a proposiciones moleculares, además de simbolizarse cada una de sus proposiciones atómicas con una variable, se tienen que representar la relación o relaciones que hay entre las proposiciones atómicas que las constituyen. Dichas relaciones son constantes y encierran una forma o estructura lógica, la cual es determinada por los propios conectivos lógicos[5] que en el uso corriente del lenguaje pueden ser muchísimos, como ya vimos, pero que en la lógica proposicional se reducen  a ciertos elementos típicos o estructuras lógicas básicas que tienen una función de enlace específica (más tarde veremos cada una) y hacen más fácil el análisis de las proposiciones en comparación con los otros conectivos.  Así pues, a la unión de proposiciones mediante la partícula "y" se llama conjunción; a la unión entre proposiciones mediante el conectivo "o" se denomina disyunción;[6] a la unión de proposiciones por medio del condicional "si... entonces" o "si... , ..." se le nombra implicación o condicional; a la unión de proposiciones por medio de la frase “si y sólo si” se le llama bicondicional; y por último, al añadido de la palabra "no" a una proposición, se le conoce como negación o función contradictoria.[7]  Veamos el siguiente cuadro:

Conectivo	Función o estructura	Proposición
Y	Conjunción	Nestle es una emporio y Alpura es una compañía menor
O	Disyunción	O estás mal o estás bien.
No	Negación	El  PRI no es una institución de caridad
Si... entonces	Implicación o condicional	Si  el Tecolote canta, entonces el indio ha muerto
...si y sólo si...	Bicondicional	Pagaré la apuesta si y sólo si los Diablos Rojos del Toluca pierden.

Cada función tiene sus respectivos símbolos:

Función	Símbolo
Conjunción	&,  ^,  *
Disyunción	V
Negación	-,  ¬
Implicación o condicional
Bicondicional	ßà

      Por ende,  se usarán del siguiente modo, al momento de representar simbólicamente cualquier proposición:

Conjunción	(Una casa es grande) y (un vocho es chico).	(A)  & (B)
Disyunción	(El canguro es un marsupial) o (yo soy ignorante).	( C) V (D)
Negación	El clima no es agradable hoy.	¬ (E)
Implicación o condicional	Si (los cuatro fantásticos son cuatro), entonces  (los Jackson Five son cinco). Antecedente   à    consecuente	F à (G)
Bicondicional	(Ana Guevara se consumará como deportista) si y sólo si (gana oro en los Juegos Olímpicos)	(H)ßà( I )
Función	Proposición	Simbolización

Ahora bien, una proposición molecular desde el punto de vista de  su forma lógica puede ser monaria o binaria, según  la cantidad de proposiciones atómicas que contenga.  Si el conectivo lógico no liga dos proposiciones, como en el caso de la negación “el clima no es agradable hoy”, sino se refiere sólo a la proposición atómica “el clima es agradable hoy”, entonces la proposición es monaria; pero si la proposición abarca dos proposiciones atómicas, consecuentemente es binaria, como en el caso de “Si estoy de vacaciones, entonces tengo tiempo libre”, donde aparecen las proposiciones atómicas “estoy de vacaciones” y “tengo tiempo libre”. 

 Agrupamiento y manejo de paréntesis en las proposiciones moleculares

Hay proposiciones moleculares bien las cuales aparecen dos o más términos de enlace. En ocasiones esto puede ser problemático veamos el porqué y su solución.

Conjunción versus disyunción

Una proposición molecular podría ser una conjunción que contuviera por un lado una disyunción y por el otro un enunciado simple. Por ejemplo:

O es el gato Tom o es el gato Felix y está acompañado por un ratón.

Su simbolización por medio de paréntesis resultaría del siguiente modo:

(O (es el gato Tom) o (es el gato Felix)) y (está acompañado por un ratón).

Haciendo uso de variables, resultaría lo siguiente:

[O (T) o (F)] y (R).

            Si añadimos los símbolos de sus funciones sería:

[(T) V (F)] & ( R).

Tantos paréntesis nos pueden confundir. Así que la regla es usar la menor cantidad de paréntesis. Si quitamos aquellos que cubren cada proposición atómica y sólo dejamos los que indican que hay una  proposición molecular en conjunción con una atómica, la situación se pone más clara:

(T  V  F) & R

            Si quitáramos este último paréntesis. Ya no sabríamos exactamente qué es lo que simbolizamos. No sabríamos si estamos frente a una proposición molecular conjuntiva (y) o ante una disyuntiva (o):

T V F & R

De hecho, alguien un poco más desconfiado desde el principio no hubiera estado conforme con la simbolización que  realizamos de la proposición: "O es el gato Tom o es el gato Felix y está acompañado por un ratón". Esa persona nos podría objetar que quizá la representación correcta sería:

(O es el gato Tom) o (es el gato Felix y está acompañado de un ratón).

O más brevemente:

T V (F & R)

¿Cómo se puede saber cuál es proposición que se nos quiere transmitir?  Imaginemos que estamos en un mundo ficticio habitado por esas caricaturas y dos observadores contemplando al horizonte a lo lejos vieran una imagen borrosa acercarse. Uno de los observadores precisamente está mirando esa figura a través de unos binoculares. El otro, no, pero le pregunta: "¿qué ves?". Mas aquel no está muy seguro a pesar de que capta mejor aquella mancha y le contesta en tono monótono a su compañero: "O es el gato Tom o es el gato Felix y está acompañado de un ratón". El observador sin binoculares, ¿qué debe entender: 1) que viene un gato (tal vez es Tom o tal vez es Felix) y está acompañado de un ratón; o 2) que viene un felino que a la mejor es Tom o que a lo mejor se trata del gato Felix en compañía de un roedor?  

El uso de una pausa (una coma por escrito) o de frases como "a la vez" ayudaría:

1.      O es el gato Tom o es el gato Felix, y está acompañado por un ratón.  (T V F) & R.

2.      O es el gato Tom, o es el gato Felix y a la vez está acompañado por un ratón.  T V (F & R).

La negación de proposiciones moleculares

De suyo la negación constituye una proposición molecular y tanto puede negar un enunciado simple o bien uno compuesto. El primero no ofrece problemas, pero el segundo posiblemente sí.  Tomemos la siguiente proposición:

No ocurre que Pedro Picapiedra sea marido de Bety y Pablo Mármol sea esposo de Vilma.[8]

Se descompone en:

No ocurre que [(Pedro Picapiedra sea marido de Bety) y (Pablo Mármol sea esposo de Vilma)].

            Se representa de este modo:

¬ (P & M)

La proposición anterior está compuesta de 3 miembros: una negación, y dos proposiciones atómicas conformando mediante una conjunción una proposición molecular.           Cada elemento ha sido simbolizado:

¬ = No ocurre[9]

P = Pedro Picapiedra sea marido de Bety

M = Pablo Mármol sea esposo de Betty

 Análogamente se procede cuando se niegan las proposiciones moleculares disyuntivas y condicionales. Ejemplo:

Proposición	Paréntesis	Simbolización
No ocurre que las vacas locas sean psicóticas o que los Toros  Neza sean campeones de la primera división.	No ocurre que [(las vacas locas sean psicóticas) o que (los Toros  Neza sean campeones de la primera división)].	¬ (L V N)
No ocurre que si hoy  es sábado entonces vaya a ir a misa.	No ocurre que [(si hoy es sábado) entonces (vaya a ir a misa)].	¬ (D à M)

Potencia de los términos de enlace

Hay términos de enlace que son más potentes que otros, es decir, que su función es más fuerte que la de otros. De hecho hay  tres de reglas en relación con esto que nos permiten prescindir de algunos paréntesis:

1)        El signo de la implicación es más potente que el resto de símbolos de los términos de enlace.

Ejemplo:

Si George Bush padre fue presidente y George Bush hijo es presidente entonces los dos han sido políticos ambiciosos.

[Si (George Bush padre fue presidente) y (George Bush hijo es presidente)] entonces (los dos han sido políticos ambiciosos).

Si [(P) y (H)] entonces (E).

(P & H) à E

P & H à E

Para el sentido común esta frase está clara. P y H son una unidad, por lo tanto si el signo de la implicación aparece al lado de esta conjunción y la relaciona con otra proposición, sabremos que la proposición molecular que se representa es una condicional que une a una conjunción con una proposición atómica.

También se aplica esta regla para el resto de los siguientes casos:

A à  (B & C)   que puede ser  A à B & C

(A V B) à C    que puede ser  A V B à C

A  à (B V C)   que puede ser A à B V C

En consecuencia, si tenemos una proposición molecular donde haya una condicional y el término dominante sea otro, no se podrá eliminar el paréntesis:

Si eso es neblina entonces hace frío allá o es el humo de un incendio [(Si (eso es neblina) entonces (hace frío allá)] o (es el humo de un incendio).

(N à L) V F

2)        El signo de la negación es el menos potente entre los conectivos lógicos.

La negación sólo afecta a la proposición en la que aparece. Veamos:

Ese sudafricano no es de raza negra o se decoloró la piel como Michael Jackson. 

Su representación es la siguiente:

¬(S) V J

En ningún momento la negación abarcó también a la otra proposición atómica. Por lo tanto se puede evitar los paréntesis:

¬S V J

La regla funciona en el resto de los casos similares:

S V ¬ N

¬S V ¬N

¬S & N

S & ¬ N

¬S & ¬N

¬S à N

S à ¬ N

¬S à ¬N

Pero cuando la negación es el término dominante de una proposición se deben respetar los paréntesis:

No ocurre que Marte esté habitado y que los extraterrestres nos invadan.

No ocurre que [(Marte esté habitado) y que (los extraterrestres nos invadan)].

¬ [(M) & (X)]

¬ (M & X)[10]

3)        Los signos de la conjunción y de la disyunción son igualmente potentes.

¿Qué es lo que se hace en este caso? Justo lo que indicamos en el inciso de la "Conjunción versus disyunción".

Ejercicio

I. Dadas las siguientes proposiciones obtener su forma lógica:

1.      Iremos a jugar futbol o a jugar básquetbol.

2.      Comió mole en San Pedro Atocpan y se manchó.

3.      Si Gloria Trevi fue engañada por Andrade, entonces es inocente.

4.      Aunque  la leche no humea, está caliente.

5.      Si vienes, saldremos juntos; pero si no vienes iré sola.

6.      Si ha tenido éxito, es muy capaz o suertudo; y si es suertudo, algún día se acabará su buena fortuna.

7.      Me compraré helado si y sólo si no estoy enfermo de la garganta.

8.      Pepito y Paquito son parientes, o no lo son; pero si son parientes, entonces son primos.

9.      Aunque Luis Miguel es muy popular, su calidad como cantante no está cifrada en la pura mercadotecnia. También podemos decir que como intérprete es muy sensible.

10.  No sé.

II. Indica cuál es el conector dominante en cada ejercicio:

1.      (F V G) à H

2.      ¬ (F V G) à H

3.      ¬ [ (F V G) à H]

4.      ¬ [¬(F V G) àH]

5.      ¬ ¬(F V  G ) à B

6.      ¬ [ (F V G) à H ] à I

7.      ¬[ (F V G) V H à I)]

8.      [ ¬F V (Gà H)] ßà ¬I

9.      { [¬(F à G) V H ] ßà ¬I } V J

10.   [ (¬F à G V H ] ßà ¬ (I & K)

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[1] Pareciera que entonces las proposiciones se identifican con los enunciados declarativos. Algunas personas estarían de acuerdo con tal identificación, aunque hay gente como  Telma Barreiro y Oscar Nudler que estarían en contra. Ellos dicen: "Sin embargo, no es lícito identificar totalmente oración declarativa con proposición. La diferencia consiste en que la primera es una fórmula material (oral u escrita) de una determinada lengua (castellano, francés, etc.) que consta de ciertas palabras dispuesta de un determinado modo. Las proposiciones, en cambio, corresponden al significado de estas oraciones. Así entendido resulta que a dos o más oraciones distintas puede corresponder la misma proposición si ellas tienen el mismo significado y, por ejemplo, pertenecen a distintos idiomas (v. Gr., "Juan es un buen alumno", "John is good pupil", "Jean es un bon élève") o contienen sinónimos ("Lo hizo con mucha rapidez", "lo hizo muy rápidamente")" (Cfr. Telma Barreiro y Oscar Nudler,  Elementos de lógica simbólica,  Kapelusz, Argentina, 1973, p. 16). Otros lógicos piensan que proposiciones con distintos términos y significados iguales, son distintas proposiciones. 

[2] La palabra "y", no siempre es un nexo entre dos proposiciones, sino también puede reproducir la relación entre dos particulares, relación que es un hecho en el mundo y que constituye el sujeto de un enunciado. 

[3] Aquí podríamos sospechar que estamos ante una proposición molecular conformada por "(yo) creo" y "es lunes".  La verdad es una proposición atómica que posee dos verbos. En ella se expresa la creencia, el estado de ánimo o el sentimiento de un sujeto en relación con el hecho que trata de expresar. Y aunque nuestros procesos mentales no se reducen a proposiciones, lo cierto es que en el ámbito de la lógica simbólica se supeditan a lo que las proposiciones desean comunicar sobre la realidad, a pesar  de que proyecten simultáneamente un estado psicológico de duda o de cualquier otro tipo.

[4] El que una negación así sea una proposición molecular, se debe a la creencia de que la negación no sólo afecta al predicado, sino también al sujeto, y en general a toda la proposición sin que la negación misma sea propiamente parte del predicado o del sujeto de la oración. Traigamos a colación el enunciado "Esto no es rojo". El "no" no refleja una cualidad de las cosas que sea "no-rojo". Tampoco alude a un particular que sea un "no-esto". El "no" es una partícula que, desde el lenguaje asevera que una determinada propiedad (en este caso, rojo), es ajena a la proposición atómica  "esto es rojo". Por lo tanto,  tenemos en una proposición molecular compuesta de dos átomos que, juntos, nos comunican lo siguiente: "no: esto es rojo".   Cfr.  MUGUERZA, Javier.  La concepción analítica de la filosofía. Edit. Alianza. España, 1974. Págs. 175 y 176. Lo que aquí  hay en el fondo es la suposición de que el lenguaje naturalmente tiende a retratar la estructura del mundo físico y éste está compuesto de particulares, cualidades y relaciones. Los tres son positivos. Se manifiestan en hechos. De lo contrario no son; es decir, no hay -en contraposición con algunas especulaciones de Russell-  hechos negativos o "no-hechos". La negación no es una manifestación real del mundo, sino una invención del lenguaje.

[5]  Los conectivos lógicos, también son llamados términos de enlace u operadores. Además existen otros conceptos formales como: " si sólo si", si  o "ni... ni...",   cuyas funciones son conocidas como bicondicional y negación conjunta.

[6]  También tiene una variante: podemos decir  (No habla español) o (es idiota) al igual que podríamos decir "O (es invidente) o (no vio la señal de alto). Ambos modos de enunciar la disyunción son válidos.

[7] Esta también tiene una variante. Podemos decir "El pez no es terrestre" o "No ocurre que el pez sea terrestre".; “no es cierto que el pez sea terrestre”,  “no es el caso  que el pez sea terrestre”, “no se cumple que el pez sea terrestre”, “es falso que el pez sea terrestre”.

[8] Algunos filósofos diferenciarían dos funciones lógicas distintas: la negación (que se aplica a proposiciones atómicas) y la incompatibilidad (que se aplica a proposiciones moleculares). El ejemplo citado justo arriba mostraría lo que es la incompatibilidad y su símbolo se representaría con una raya vertical:" l ".  La proposición anterior entonces se simbolizaría así: P l  M.

[9] La expresión no ocurre es engañosa, ya que, si bien nos muestra la función lógica de la negación gracias al "no", el "ocurre" pareciera que representa otro enunciado simple. Sin embargo, verbos como ocurrir o suceder, lejos de representar algo distinto, dan por sentado lo que está implícito en la proposición. Por ejemplo, si afirmo "sucede que es hora de mi telenovela", no estoy ante una proposición molecular, sino que estoy frente a una proposición atómica. ¿Por qué? Porque el verbo "suceder" reitera lo aseverado en la proposición y que corresponde al mismo hecho representado, no a otro. Y lo reitera porque está implícito en que, si es hora de mi telenovela, es porque está sucediendo que es de mi telenovela. Es decir,  el ocurrir no es lógica, ni ontológicamente independiente de los particulares, cualidades o relaciones. Ocurrir, suceder, significa que algo es. Puedo decir "mi cama está tendida" u "ocurre que mi cama está tendida". En la segunda proposición se repite lo mismo que en la primera y nadie, por eso, pensaría que se refieren a hechos distintos. En cambio, si algo no ocurre, simplemente no es. Pero el "no ser", no es un hecho, sino una elucubración de nuestra imaginación.

[10] Nótese que ¬ (M & X) no es lo mismo que ¬M & ¬X. Es diferente "no ocurre que Marte esté habitado y que los extraterrestres nos invadan" a "Marte no está habitado y los extraterrestres no nos invaden".