El objeto de la lógica matemática (lógica de primer orden)

Pareciera que todas las cosas poseen una forma, es decir, una estructura determinada. Cuando decimos que una nube tiene forma de cocodrilo, nos referimos a su figura; pero esa figura, nos hace suponer una estructura, al menos en apariencia, similar. La "nube-cocodrilo" tiene forma de nube, aunque también nos recuerda la forma de uno de esos animales.  Es nuestra imaginación quien la relaciona con ese reptil. Y si en un zoológico viéramos salir de un huevo a una criaturita verde, escamosa, bocona, de ojos saltones, idéntica al monstruo de dos metros de largo que puso esa nidada, sin duda afirmaríamos que ambos seres comparten la misma forma. Una chica bien formada, es una chica bien estructurada de acuerdo al modelo de mujer que tenemos en mente. La forma de un poema se capta por sus estrofas,  la extensión silábica, sus versos, su rima, su musicalidad, etcétera.

El lenguaje tiene una forma, si consideramos que éste es una “[...] entidad compuesta de una serie de sonidos, letras, gestos, señales, etc., capaces de comunicar un mensaje”[1].  Básicamente pues, un lenguaje está compuesto de un vocabulario y de una sintaxis.[2] No obstante,  existen, al menos dos tipos de lenguajes: el natural ordinario y el lógico (o formal). El primero es el que usamos cotidianamente  para conocer, valorar y prescribir, y podemos,  a través de él, hablar de los objetos, de las cosas que suceden en el mundo. Por ejemplo: “Nancy es platicona”.  El segundo es el que utiliza un metalenguaje; es decir, usa al lenguaje mismo para hablar del lenguaje y mencionarlo (metalenguaje). Una expresión metalingüística sería: “Jazmín dice que Nancy es platicona”.  Usamos el lenguaje para mencionar lo dicho ya antes con el lenguaje.  

El lenguaje lógico es un metalenguaje que, además, traza su propia sintaxis (su propia estructura y reglas) a través del cálculo. El cálculo es un sistema de relaciones que consta de: 1) símbolos elementales o primitivos; 2) un conjunto de reglas que rigen tanto la formación de secuencias entre los signos primitivos (es decir, cómo se deben escribir esos signos y asociar entre ellos), como la transformación de las fórmulas que crean para deducir otras fórmulas. Esos símbolos elementales, no representan significados concretos, sino más bien formas lógicas que están vinculadas entre sí gracias a las mencionadas reglas. Pensemos en el juego de ajedrez. Los símbolos primitivos son las piezas, pero éstas sólo pueden moverse en cierta forma y realizar comerse a otras fichas debido a las reglas.     

            Las formas lógicas se captan de acuerdo al modo de relacionarse ciertos pensamientos.  Hay por lo tanto, aspectos constantes y aspectos variables.  El enunciado "Anastasia es una película y es un nombre", encierra constantes y variables. Coincide su forma con la del enunciado "Cristina es impuntual y su novio es mandilón".

            En realidad ambas oraciones son enunciados coordinados. Implican dos oraciones simples que se vinculan gracias al concepto formal "y", que es constante y  refleja una relación común entre ambas partes de la proposición; es decir, desempeña una misma función, no importa que sea Anastasia o Cristina, o que sea una persona, un  nombre o una película, pues esos significados distintos que comparten una misma función se llaman variables.

(Anastasia es una película)   y      (es un nombre).

                   

         Variable               constante    variable

(Cristina es impuntual)        y      (su novio es mandilón).

Ahora bien, el simbolismo de las formas lógicas, posee tres niveles: 1) el estenográfico; 2) el lógico de orden cero y 3) el lógico de primer orden. 

El simbolismo estenográfico, establece que cada palabra de un enunciado debe ser simbolizada, excepto el verbo, el cual conserva  su orden topológico (es decir un lugar en el enunciado que no se puede alterar). Así pues,  si decimos: “Anastasia es una película desafortunada”,  esto lo podríamos representar como: A es pd (donde cada letra representa una palabra).  La estenografía, es la taquigrafía, es decir, la reproducción de un discurso abreviando sus palabras. El simbolismo estenográfico hace eso; por lo tanto el símbolo estenográfico es la abreviatura de una palabra respetando su orden dentro de un enunciado.

En cambio, el simbolismo de orden cero es más abstracto. Tenemos que concibe en un enunciado determinado que hay  un  sujeto y un predicado en relación y, de alguna manera, es una forma compartida por todos los enunciados posibles. Así “Anastasia es una película”, se transforma en: S es P. Donde Anastasia es un sujeto y película es un predicado. 

Luego, si observamos varios “objetos” de nuestra mente que tienen la forma de  “S es P”, en realidad, podemos simbolizar esa forma con una sola letra que represente  la unidad entre  el sujeto y el predicado. Dicho en cristiano, el simbolismo de primer orden, representa enunciados con una sola letra. Así pues, “Pablito clavó un clavito” se puede simbolizar con la letra A (o cualquier otra letra).

Este es el simbolismo de primer orden, el cual partió desde el simbolismo  de orden cero:

             Anastasia es una película    Juan es bombero   Él es marciano

            A     es      P                            J       es   B                   E  es  M  (orden

                                                                                                                estenográfico)

S es P   (orden cero)

 

                                     

A

                                                                   (Primer orden)

Pero la lógica matemática, además de representar, también concibe a lo representado como una ecuación, es decir, como un enunciado que establece una igualdad –muchas veces no evidente- entre dos cosas.

Hay cuatro funciones lógicas básicas:[3] la contradictoria, la conjuntiva, la disyuntiva y la implicativa. Más adelante lo veremos. Basta por el momento decir que el  objeto de estudio de la lógica simbólica son las formas del pensamiento. 

Entonces, el interés de esta disciplina efectivamente es lo abstracto. Más que el estudio de los contenidos o significados concretos de nuestros pensamientos, le interesa la forma general en que se relacionan éstos.  Así pues, sucede en la lógica simbólica lo que sucede en la física (y en otras ciencias). Al científico que estudia la velocidad,  le importa la velocidad en general y no nada más la de su carro. Y si quiere explicar la rapidez de su automóvil, antes tiene que comprender esa forma llamada  "velocidad". 

Si yo tengo dos naranjas en mi mochila y guardo otras dos, obtengo cuatro naranjas en mi haber. En matemáticas, este sencillo hecho se expresa mediante una suma:

2 +2 = 4.

No obstante, dicha operación podría ejecutarse con peras o discos compactos, en vez de utilizar tales cítricos. Hay una función llamada "suma" que trasciende a los objetos mediante los cuales  ella se realiza.

 Más aún. Remplacemos al primer “2” de la mencionada suma por una "b",  quedando la siguiente ecuación:

b +  2 = 4

En este caso, sabemos que detrás de "b", se oculta el número que hace verdadera esa suma: el 2. Luego, sustituyamos el otro sumando restante por la letra "c":

 b + c = 4

            Ahora, no sólo el número 2 hace verdadera a la adición de "b" y  "c"; también  el número negativo "-2" y el positivo "6" podrían hacerla verdadera. O bien la suma de 0 y 4:

(-2)  + 6 =  4

0        + 4  = 4

2 + 2 = 4 

Compliquemos más la situación. Si cambiamos el 4 de la suma original por la letra d. Tendremos una forma realmente abstracta:

 b + c  = d

Una infinita cantidad de combinaciones de números hace verdadera a esta operación.

Bueno, tal vez, el lenguaje se  desarrolla de una manera parecida y  se pueden realizar operaciones así. Consideremos la  siguiente proposición:

"Si el América pierde contra las Chivas, entonces yo me rapo".

La frase anterior se constituye de dos enunciados más breves: "El América pierde contra las Chivas" y "yo me rapo". Ambas oraciones están vinculadas por  la construcción adverbial:  "si... entonces".  Consecuentemente, usaremos unos paréntesis para simbolizar un gran enunciado compuesto de dos más simples:

Si (el América pierde contra las Chivas) entonces (yo me rapo).

Sustituyendo el enunciado contenido dentro del primer paréntesis por la letra “G", resulta la siguiente proposición:

Si (G) entonces (yo me rapo).

Ya sabemos qué enunciado hace verdadera a la sentencia anterior. Pero también, podría ser significativa si dijéramos:

Si (me salen piojos) entonces (yo me rapo).

Si (Carlos Salinas se hace un implante de pelo) entonces (yo me rapo).

Los tres enunciados pueden cubrir la misma función. Sin embargo, no se reprsentarían igual. Usaríamos G para “Si el América pierde contra las Chivas” y otras letras cualesquiera para “me salen piojos” o “Carlos Salinas se hace un implante de pelo”.

Continuemos. El turno le toca al segundo enunciado: “yo me rapo”. Lo cambiaremos por la letra "H":

Si (G) entonces (H).

Una multitud de posibilidades haría elocuente esta proposición. Sin embargo, G y H responden a un significado distinto, aunque no sepamos exactamente cuál, una vez que se realizó la sustitución. Igual que en la suma en la aritmética, en la lógica hay una función llamada implicación, que relaciona de cierta forma a enunciados, cuyas significaciones pueden ser variadas.

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[1] José Ferrater y  Hugues Leblanc, Lógica matemática, FCE., México, 1992, p. 9.

[2] Alfredo Deaño, Introducción a la lógica formal, Alianza, Madrid, 1990, p. 45.

[3]  También conocidas como funciones de verdad, proposicionales o formales. Algunos lógicos hacen distinción entre ellas y dicen que no son lo mismo.