Lógica de Predicados.
Género: material didáctico.
Autor: Ricardo Mazón Fonseca.
Ejercicio
Autor: Ricardo Mazón Fonseca.
Así como
hemos visto que la lógica proposicional puede trabajar con enunciados enteros,
así, lo mismo se puede ocupar dentro de una proposición de los términos que la
constituyen. Eso genera una mayor precisión e incluso la posibilidad de
representar silogismos y resolverlos haciendo uso de la lógica proposicional.
Así pues es necesario el surgimiento de otro tipo de lógica simbólica, que es
conocida como lógica de predicados o lógica de funciones.
El siguiente silogismo se puede estudiar como un conjunto de
proposiciones o también como un conjunto de términos:
Todas las
moscas son insectos.
Algunas
moscas son verdes
_____________________________________
Algunos
insectos son verdes
Así pues, primero que nada veremos que dentro de una proposición hay dos partes: el sujeto y el predicado. Eso al menos plantea la lógica tradicional; la moderna,
dirá que observamos individuos (personas, animales, cosas, representados por nombres propios) y propiedades o
relaciones que se dan entre ellos. En realidad lo que el sujeto gramatical y
más correctamente los sustantivos, lo que hacen es fungir como un término, es decir, funcionan como una
expresión o una variable con la que se nombra o designa a uno u varios
individuos:
Vicente Fernández es
un cantante de música ranchera.
La tortilla es
un alimento rico en calcio.
Algunos helicópteros
son amarillos.
El señor de traje azul parado en la
esquina es árbitro de futbol los fines de semana.
Cabe resaltar que el predicado expresa las cualidades o relaciones del sujeto y dentro de él (el
predicado) puede haber o no un término (o sustantivo) presente:
El plomo es tóxico.
Mi abuelita
bucea.
El
repartidor de pizzas es Juan.
Si el
predicado se refiere a un solo individuo, tenemos un predicado monádico,
si implica más, es poliádico (y puede variar y ser diádico, con dos individuos;
triádico, con tres; tetrádico, con cuatro, etc).
Así pues, mientras que
“El plomo es tóxico” y “mi abuelita bucea” son proposiciones monádicas, “El repartidor de pizzas es Juan” es poliádico, ya que tiene dos individuos:
“repartidor de pizzas” y “Juan”.
Por ende el predicado también tiene una función. ¿Cuál? La de
decir algo que puede ser verdadero o falso respecto a uno a más individuos,
vaya, da un valor de verdad.
Ahora bien, algunas proposiciones no se refieren a individuos
concretos, sino a una colectividad
cuantificable, pero no exacta, por ejemplo “todos los gatos son
bigotones” o “algunos gatos son finos”.
Las proposiciones de
acuerdo a la extensión (que en esta lógica se le llama dominio de referencia)
del término de su sujeto pueden clasificarse en: singulares, particulares y
universales. Las singulares se refieren
a un objeto único; las particualres
abarcan a una parte de un conjunto de seres; y las universales aluden a
la totalidad de miembros de un grupo determinado. Ej.
La raqueta
escondida debajo de mi cama es de Ana Kournikova - Singular
Algunas
raquetas son muy ligeras - Particular.
Todas las
raquetas sirven para golpear -Universal.
Pero también estas proposiciones que pueden ser negativas:
La
videocassettera robada oculta debajo de mi cama no es mía - Singular
Algunas
raquetas son pesadas - particular
No todas
las raquetas son ligeras- particular
Todos los
aviones son máquinas complejas -universal
Ningún
comercial de Palacio de Hierro es feminista -universal
Consecuentemente
tenemos & tipos de proposiciones:
1.
Singulares afirmativas.
2.
Singulares negativas.
3.
Particulares afirmativas.
4.
Particulares negativas.
5.
Universales afirmativas.
6.
Universales negativas.
Hay ciertas palabras o frases que nos indican el número de
seres que abarca un término; a ellas se les llama cuantificadores.
Generalmente
para indicar una cuantificación universal afirmativa se usan:
Para cada x
...
Cada...
Para todo x
...
Todo...
Cualquiera...
Para una
cuantificación unversal negativa por lo común aparecen:
Para
ningún...
Ninguno...
Nadie...
Nada...
No...
Los términos, predicados y
cuantificadores de una proposición pueden representarse en fórmulas, o sea con
símbolos que, asociados, puedan representar lo que se dice en una proposición.
Convencionalmente se ha establecido que se utilizan[1]:
1.
Las literales mayúsculas A, B, C
...Z para representar a los predicados
(letras predicativas).
2.
Las literales minúsculas a, b, c
...w, para representar a individuos particulares (constantes particulares).
3.
Las literales minúsculas x, y, z
para representar a individuos cualesquiera (variables individuales).
4.
El símbolo ( ) , para representar a la expresión
"todos" ( o ningún) y que se llama cuantificador universal.
5.
El símbolo ( ) para representar a la expresión
"algunos" y a la que se le denomina cuantificador existencial.
Son
formulas atómicas aquellas que representan a una proposición que posee un solo
predicado y son formulas moleculares aquellas que representan a varios
predicados dentro de una misma proposición.
Ejemplo:
La
proposición
"Soraya
Jiménez es muy fuerte"
está
constituida por el término Soraya Jiménez, que representaremos con la letra
"s" y el predicado "es muy fuerte", que simbolizaremos con
la letra "E": Por lo tanto la proposición se representa:
Es
En caso de que se tengan dos términos en la proposición, la
representación puede cambiar:
Soraya
Jiménez es amiga de Hulk
Aquí
tenemos los términos Soraya Jiménez (s) y Hulk (h) y el predicado "es
amiga de" (E). Por ende tenemos:
Esh
También es
válido representar la proposición de esta manera:
sEh
Ahora bien,
cuando el enunciado no es singular, sino particular o universal, su
representación no puede ser la misma. Pensemos en el siguiente enunciado:
Soraya es
un nombre.
Aquí
“Soraya” no representa a un individuo, sino un término que puede representar a
un individuo cualquiera. Simplemente para representar este estatuto de
“Soraya”, la lógica cuantificacional
procede así:
Sx
donde, x = individuo cualquiera
S = término de Soraya
Ahora bien,
para indicar la universalidad de este término
y de su relación con el predicado, se tiene que añadir
Para todo
x, donde x sea Soraya, etonces x es
nombre,
consecuentemente se traduce en:
Para todo
x, Sx à Nx
Pero ¿qué pasa si nuestra proposición fuera
particular? Tomemos otra proposición:
Algunas
Sorayas son famosas.
¿Cómo la
representamos?
Para ello
hay que cuantificar existencialmente y no universalmente dicho enunciado. En
otras palabras, hay que mostrar que aunque Soraya no representa a un individuo,
tampoco representa a la totalidad de los individuos.
Para ello decimos
Existe al
menos un tal x, que siendo x Soraya, también x es famoso.
Es decir:
Existe al
menos un tal x, Sx & Fx
Ponemos un signo de
conjunción y no de condicional porque es más adecuado para representar la
particularidad de un enunciado.
Y si nuestro predicados
fueran negativos, ¿cómo le haríamos? ¿Cómo representar el enunciado “Algunas
Sorayas no son famosas?
La forma adecuada sería:
Existe un x tal que, Sx
& ¬Fx
Tal negación da a entender
que el predicado famosos no corresponde a algunas Sorayas... En otras palabras:
“Algunas Sorayas no son famosas”.
Y una proposición universal
negativa se representaría así:
Ninguna Soraya es triciclo.
Para todo x, Sx à ¬
Tx
Entonces podemos recapitular que las proposiciones
universales afirmativas (A), universales negativas (E), particulares
afirmativas (I) y particulares negativas (O), se pueden representar así:
Todo
piojo es animal ( A )
Para todo x, Ax à
Bx
|
Ningún
piojo es planta ( E )
Para todo
x, Ax à
¬Bx
|
Algunos
piojos son animales ( I )
Existe un
x tal que Ax & Bx
|
Algunos
piojos no son animales ( O )
Existen
un x tal que Ax & ¬Bx
|
Finalmente, podemos resolver algunos silogismos
típicos, haciendo uso de estas funciones proposicionales, de las reglas de la
lógica proposicional y ciertas reglas de la cuantificación que sólo son válidas
dentro de este contexto, para lograr la demostración de su validez, no así de
su invalidez o de la contingencia de sus proposiciones, como observó el lógico
Alonzo Church[2].
Las reglas
especiales de la cuantificación que son usadas son las siguientes:
Ejemplificación
Universal (EU)
Si una
proposición universal es verdadera, también lo es para cualquier individuo
singular.
1) Para
todo X, Fx
2) Fa
Ejemplo:
Todos los
músicos son sensibles
Alex Lora
es músico
1) Para todo x, Mx à
Sx
2) Ma
_____________________
3) Ma à Sa (EU 1)
4)Sa
(PP 2, 3)
|
Generalización Universal (GU)
Si la
verdad de un individuo singular se da, también puede darse de su totalidad.
1)Fa
2)Para
todo x, Fx
Ejemplo:
Todos los
billetes son moneda
Toda
moneda es valiosa
1)Para
todo x, Bx à
Mx
2)Para
todo x, Mx à
Vx
_____________________
3) Ba à
Ma (EU 1)
3)
Ma à
Va (EU 2)
4)
Ba à
Va (SH 3,4)
5)
Para todo x, Bx à
Vx (GU, 5)
|
Ejemplificación
Existencial (EE)
Si una
proposición particular es verdadera, también lo es para cualquier individuo
singular.
1)Existe
un x tal, Fx
2)Fa
Ejemplo:
Todas las
modelos son guapas
Algunas
modelos son morenas
1) Para
todo x, Mx à
Gx
2)Existe
un x tal, Mx & Nx
______________________
3)Ma à
Ga (EU 1)
1)
Ma & Na (EE 2)
2)
Ma (S 4)
3)
Ga (PP 3,5)
4)
Ga & Na (Adj. 5, 6)
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Generalización
Existencial (GE)
Si la
verdad de un individuo singular se da, también puede darse de su
particularidad.
1)Fa
2)Existe
un x tal, Fx
Ejemplo:
Algún microbio no es dañino.
Todo
microbio es pequeño.
1)Existe
un x tal, Mx & ¬Dx
2)Para
todo x, Mx à
Px
______________________
3)Ma
& ¬Da (EE 1)
4)Ma à
Pa (EU 2)
5)Ma
(S 3)
6) Pa (PP 4, 5)
7)¬Da (S 3)
8)Pa & ¬Da (Adj. 6, 7)
9)Existe un x tal, Px & ¬Dx (GE 8)
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Ejercicio
Realiza la
demostración de los siguientes silogismos de acuerdo a las reglas de la lógica
cuantificacional:
Silogismo
|
Demostración
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Todos los perros son cuadrúpedos
Algunos perros son enanos
Algunos enanos son cuadrúpedos.
|
Demostrar:
algunos enanos son cuadrúpedos.
|
Ningún político es sincero
Algunos
abogados son políticos
Algunos abogados no son sinceros
|
Demostrar:
Algunos microbuseros no son sinceros.
|
Todo pintor es artista
Ningún artista es insensible
Ningún insensible es pintor
|
Demostrar: Ningún
insensible es pintor.
|
Algún gato no es peludo
Todo gato es homeotermo
Algún homeotermo no es peludo
|
Demostrar: Algún
homeotermo no es peludo.
|
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