El cuadro de la oposición

Género: material didáctico.
Autor: Ricardo Mazón Fonseca.

Resulta que hay proposiciones (juicios categóricos) que pueden hablar de una misma cosa, pero entenderla con unas pequeñas variantes en relación a su extensión (universal o particular) y en relación a su cualidad esencial (afirmar o negar). Así pues, tenemos que pueden haber proposiciones de cuatro tipos: universales afirmativas (todo ganso tiene pico), universales negativas (ningún ganso tiene pico), particulares afirmativas (algunos gansos tienen pico) y particulares negativas (algunos gansos no tienen pico). A cada una de ellas se les asignó respectivamente una letra: A, E, I, O y se estudiaron sus relaciones de verdad esquematizados en un diagrama llamado el cuadro de la oposición. Los culpables de esta ocurrencia fueron: Apuleyo (125-164 d.C), quien la propuso y Boecio (480-526 d.C), quien la perfeccionó.

Así pues, el dichoso cuadro de la oposición entre las proposiciones A, E, I, O, en realidad es el esquema de un tipo de inferencia llamado precisamente oposición. Consiste en derivar la verdad o falsedad de todas las proposiciones de dicho cuadro a partir de la verdad o falsedad de alguna de ellas. Veamos el cuadro (copiado del Diccionario soviético de Filosofía):

La oposición se realiza con el mismo sujeto y predicado aunque ciertamente jugamos con las diferentes posibilidades de juicios cambiando su cantidad y su cualidad. De este modo obtenemos 4 enunciaciones:

A Todo pastel es comida.

E Ningún pastel es comida.

I Algún pastel es comida.

O Algún pastel no es comida.

Supongamos que la A es verdadera. Poseyendo nada más ese dato debemos deducir la verdad o falsedad de las demás proposiciones. Para tal efecto, contamos con las siguientes reglas:

1. Las proposiciones contrarias no pueden ser simultáneamente verdaderas, pero sí simultáneamente falsas.

¿Por qué? Porque algo no puede ser y no ser al mismo tiempo y bajo las mismas circunstancias.[1] Si sabemos que “todos los pollos nacen de un huevo”, sabemos que es imposible lo contrario: “ningún pollo nace de un huevo”.

No obstante, las proposiciones contrarias pueden ser simultáneamente falsas. Recurramos de nuevo a los pollos. Imaginemos que estamos ante un corral común y corriente. Entonces, alguien afirma que “todos los pollos son machos”. Eso es falso. Otro afirma que “todos los pollos no son machos”, lo cual también es falso. Ambas proposiciones son falsas, ya que algunos pollos son hembras y otros machos.

2. Las proposiciones contradictorias no pueden ser simultáneamente falsas ni simultáneamente verdaderas. Por lo tanto, de la verdad de una contradictoria se infiere la falsedad de la otra y viceversa.

Ciertamente aquí también rige el apenas citado principio de contradicción. Algo es o no es. No hay de otra. Vale la pena recordar que contradictorias son dos proposiciones distintas tanto en cualidad, como en cantidad. Las contrarias son semejantes en cantidad, pero distintas en cualidad. Así pues las contradictorias son menos semejantes entre sí que las contrarias. Por esa razón son siempre distintas. Ej.

“Todos los pericos son aves” (universal afirmativa) es verdadera,

Su contradictoria:

“Algunos pericos no son aves” (particular negativa) es falsa.

3. Las proposiciones subcontrarias no pueden ser simultáneamente falsas, pero sí pueden ser simultáneamente verdaderas.

¿Por qué? Igualmente de un “todo”, algunos seres pueden ser de una manera y otros no ser de esa manera. Un grupo no siempre es homogéneo. Supongamos que tenemos un conjunto de plumas. Algunas son negras y otras rojas, azules, etc. Decir “algunas plumas son negras” (I) es verdadero, como verdadero es asegurar que “algunas plumas no son negras” (0). Sucede como en el caso de los pollos macho y hembra.

Sin embargo, es imposible que ambas subcontrarias sean simultáneamente falsas ya que, en dado caso, la contradictoria de cada una de ellas sería verdadera y ese par de contradictorias serían contrarias una de la otra. Dos contrarias no pueden ser simultáneamente verdaderas, pues como ya dijimos, algo no puede ser y no ser al mismo tiempo y bajo las mismas circunstancias.

4. En relación con las proposiciones subalternas debemos decir dos cosas:

- Que de la verdad de la universal también se infiere la verdad de su respectiva particular, pero no al revés.

- Que de la falsedad de la particular también se infiere la falsedad de su respectiva universal; pero no al revés.

Si el “todo” (universal) es de una manera, decir que una parte suya (particular) es de esa manera, es correcto sin duda. En otras palabras, si es verdad que un pastel es de chocolate, obviamente también es verdad que una rebanada de ese pastel sea del mismo sabor. En cambio, si la particular es falsa, también la universal lo será. Si decimos que una rebanada de aquel mismo pastel es de fresa, es falso. Por lo tanto, afirmar que todo el pastel es de fresa, igualmente es falso.

Ejercicio

Infiere el valor de verdad del resto de las proposiciones a partir del valor de verdad indicado de las siguientes:

Si “A” es verdadera E ___ I ___ O___
Si “A” es falsa E ___ I ___ O___
Si “E” es verdadera A ___ I ___ O___
Si “E” es falsa A ___ I ___ O___
Si “I” es verdadera A ___ E ___ O___
Si “I” es falsa A ___ E ___ O___
Si “O” es verdadera A ___ E ___ I ___
Si “O” es falsa A ___ E ___ I ___

La representación de la oposición con lógica de clases

Lo que anteriormente vimos también puede ser representado a través de una herramienta aportada por la lógica contemporánea.

La teoría de conjuntos o lógica de clases fue creada por el matemático Georg Cantor (1845-1918). Imaginemos que está frente a nosotros un conjunto de naranjas en una caja. El conjunto es distinto de la clase de las naranjas. Un conjunto es una colección, un agregado de entidades concretas; una clase, es una abstracción que agrupa entidades concretas de acuerdo a una propiedad o característica. Así pues, podemos tener en la caja un conjunto de 30 naranjas, pero todas ellas son englobadas por la clase de las naranjas. Ahora bien, cuando un individuo es miembro de una clase, se dice que hay entre ellos una relación de pertenencia. Una naranja de la mencionada caja, pertenece al conjunto de las naranjas. Así pues, tenemos que, simbólicamente, podemos representar este vínculo de la siguiente manera:

a e a

donde:

a = esta naranja

e = pertenece

a =conjunto de las naranjas.

Esto se puede llevar a oraciones tales como:

Mi abuelo es plomero

Es decir:

b e g

b = mi abuelo

e = pertenece

g =plomero

Queda claro que el predicado del enunciado anterior se vuelve una clase a la cual el sujeto pertenece como miembro. Así, la expresión correcta de “Mi abuelo es plomero”, sería:

b e x Px

Esto significa que B pertenece a la clase de todos los individuos x, con la propiedad p, en este caso, “Mi abuelo”, pertenece a la clase de todos los individuos con la propiedad “plomero”. Y esto se puede resumir mejor de la siguiente manera:

Donde el predicado antecede al sujeto para decir: b (Mi abuelo) es P (plomero).

Ahora bien, pueden existir ciertas relaciones entre las clases. En este contexto habrá unas clases que se refieran a un universo de cosas (clase universal) y habrá otras que no se refieran a ningún individuo (clase nula).

Los dos elementos básicos de una proposición se pueden representar de acuerdo a un esquema mostrado por el lógico John Venn (1834-1923) y que tiene por base ciertos diagramas previamente usados por Leonhard Euler (1707-1783) y por Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716). Una clase universal puede ser representada de la siguiente manera:

Si consideramos las proposiciones categóricas (A, E, I, O) de la lógica clásica como clases, éstas se pueden representar en una serie de conjuntos que se intersectan. El círculo de la izquierda representa al sujeto del juicio y el de la derecha, su predicado. Más aún, se usa un sombreado o un rayado dentro de alguna parte de los círculos (la del sujeto, la del predicado o la de la intersección) para indicar que en ese no hay ningún miembro de una clase; o bien, se usa un tache para indicar que en dicho sector hay presente una clase.

Por lo tanto, las proposiciones A, E, I, O se representarán así: